1. De aanvaller gooit met 3 dobbelstenen, de verdediger met 1 of 2.
2. De aanvaller gooit met 3 dobbelstenen, de verdediger met 1.
3. De aanvaller gooit met 2 dobbelstenen, de verdediger met 1 of 2.
4. De aanvaller gooit met 2 dobbelstenen, de verdediger met 1.
5. De aanvaller gooit met 1 dobbelsteen, de verdediger met 1 of 2.
6. De aanvaller gooit met 1 dobbelsteen, de verdediger met 1.

We beginnen met de aanvaller. De volgende tabel laat alle mogelijke combinaties zien als de aanvaller met drie dobbelstenen gooit. Het totale aantal combinaties is natuurlijk 216.
 
 

E\H	1	2	3	4	5	6
1	1	3	3	3	3	3
2		4	9	9	9	9
3			7	15	15	15
4				10	21	21
5					13	27
6						16

Waarbij H de 'hoogste dobbelsteenwaarde' is en E de 'één na hoogste dobbelsteenwaarde'. We zullen de uitkomst van een worp dan ook noteren als (H,E) of als (H,E,X) waarbij H>=E>=X.

Dan volgt nu de tabel van combinaties als de aanvaller met twee dobbelstenen gooit. Deze tabel oogt aanzienlijk eenvoudiger.
 

E\H	1	2	3	4	5	6
1	1	2	2	2	2	2
2		1	2	2	2	2
3			1	2	2	2
4				1	2	2
5					1	2
6						1

Het totaal van de cellen is gelijk aan 36.. De kansverdeling van de aanvaller per worp kan dus makkelijk worden uitgerekend als men het aantal gegooide dobbelstenen weet.

We gaan nu kijken naar de verdediger. De verdediger ziet de worp van de aanvaller als gegeven. Het is informatie die hij/zij kan gebruiken om de juiste strategie te formuleren. De verdediger zou bijvoorbeeld kunnen zeggen "Als de aanvaller (6,6) gooit gooi ik met één dobbelsteen, in alle andere gevallen met twee.". Zodoende minimaliseert de verdediger de kans dat hij/zij een leger extra verliest wanneer de aanvaller (6,6) gooit. De formulering van dit soort strategieën vormt de kern van dit artikel. Voorlopig nemen we echter aan dat de verdediger altijd met twee dobbelstenen gooit.

Het aantal mogelijkheden voor de verdediger om twee legers te verliezen bij een gegeven worp (H,E) van de verdediger.
 

E\H	1	2	3	4	5	6
1	36	35	32	27	20	11
2		25	24	21	16	9
3			16	15	12	7
4				9	8	5
5					4	3
6						1

Het aantal mogelijkheden voor de verdediger om één leger te verliezen bij een gegeven worp (H,E) van de verdediger.
 

E\H	1	2	3	4	5	6
1	0	1	4	9	16	25
2		10	9	10	13	18
3			16	13	12	13
4				18	13	10
5					16	9
6						10

Het aantal mogelijkheden voor de verdediger om geen leger te verliezen bij een gegeven worp (H,E) van de verdediger.
 

E\H	1	2	3	4	5	6
1	0	0	0	0	0	0
2		1	3	5	7	9
3			4	8	12	16
4				9	15	21
5					16	24
6						25

Het combineren van deze tabellen leidt tot de volgende nieuwe tabel.
 

E\H	1	2	3	4	5	6
1	100 0 0 0.00	97 3 0 0.08	89 11 0 0.31	75 25 0 0.25	56 44 0 0.44	31 69 0 0.69
2		69 26 3 0.33	67 25 8 0.42	58 28 14 0.56	44 36 19 0.75	25 50 25 1.00
3			44 44 11 0.67	42 36 22 0.81	33 33 33 1.00	19 36 44 1.25
4				25 50 25 1.00	22 36 42 1.19	14 28 58 1.44
5					11 44 44 1.33	8 25 67 1.58
6						3 28 69 1.67

Waarbij elke cel de volgende informatie bevat
 

x y z V

x = de kans dat verdediger geen legers verliest (*)

y = de kans dat de verdediger één leger verliest (*)

z = de kans dat de verdediger twee legers verliest (*)

V = Verwachte verlies van de verdediger (*)

* = als functie van de worp van de aanvaller

We kunnen nu beginnen met het formuleren van de dobbelstrategieën. Met deze tabel in het achterhoofd kan de verdediger zijn/haar verwachte verliezen minimaliseren door niet met twee dobbelstenen te gooien op worpen die hij/zij gevaarlijk acht. De meest gevaarlijke worp is natuurlijk (6,6), dan (6,5) en zo verder. In uitbreiding op het artikel van Siebrand onderscheid ik 11 strategieën. De verdediger werpt in principe met twee dobbelstenen tenzij de hoogste twee dobbelstenen van de aanvaller gelijk zijn aan:

1. (-,-) Altijd met twee dobbelstenen.
2. (6,6)
3. (6,6) of (6,5).
4. (6,6), (6,5) of (6,4).
5. (6,6), (6,5), (6,4) of (5,5).
6. (6,6), (6,5), (6,4), (5,5) of (6,3).
7. (6,6), (6,5), (6,4), (5,5), (6,3) of (5,4).
8. (6,6), (6,5), (6,4), (5,5), (6,3), (5,4) of (4,4).
9. (6,6), (6,5), (6,4), (5,5), (6,3), (5,4), (4,4) of (5,3).
10. (6,6), (6,5), (6,4), (5,5), (6,3), (5,4), (4,4), (5,3) of (6,2).
11. (6,6), (6,5), (6,4), (5,5), (6,3), (5,4), (4,4), (5,3), (6,2) of (4,3).

vv1: verlies verdediger als de verdediger met één dobbelsteen gooit.

vv2: verlies verdediger als de verdediger met twee dobbelstenen gooit.

vvt: verlies verdediger ongeacht het aantal dobbelstenen.

vat: verlies aanvaller ongeacht het aantal dobbelstenen.

E{vvt|S): verwachte waarde van het verlies bij strategie S.

E{vat|S): verwachte waarde van het verlies bij strategie S.

Pr{vvi=a|S}: kans dat het verdedigersverlies gelijk is aan a als de verdediger met i (1 of 2) dobbelstenen gooit onder voorwaarde dat de verdediger strategie S hanteert.

Er geldt nu:

E{vvt|S} = Pr{vv1=1|S} + Pr{vv2=1|S} + 2*Pr{vv2=2|S}

E{vat|S} = Pr{vv1=0|S} + Pr{vv2=1|S} + 2*Pr{vv2=0|S}

In de tabel is het netto-verlies van de verdediger gedefinieerd als het verschil tussen het verwachte verlies van de verdediger en de aanvaller. Dit netto-verlies ligt voor elke strategie rond de nul als de aanvaller met drie dobbelstenen gooit. Dit betekent dat welke strategie ook gekozen wordt de aanvaller ongeveer evenveel verliest als de verdediger. We zullen dit feit later gebruiken om een nuttige vuistregel voor de aanvaller te formuleren. Gooit de aanvaller met twee dobbelstenen dan is het netto-verlies voor de aanvaller ongeveer een half leger. Het is dus niet verstandig om als aanvaller met twee dobbelstenen te gooien als de verdediger dat ook kan. De standaardafwijking van het verlies voor de aanvaller is min of meer constant. Het aantal dobbelstenen heeft er zelfs weinig invloed op het blijft schommelen rond de 0.80. De standaardafwijking van de verdediger wordt daarentegen steeds kleiner. Hoe voorzichtiger de verdediger speelt, hoe kleiner de standaardafwijking van zijn verlies. Merk overigens op dat de standaardafwijkingen relatief groot zijn ten opzichte van de verwachte waarden. Dit betekent dat Risk zijn naam eer aan doet. Statistisch bezien valt er, onder deze omstandigheden, geen peil op de uitkomst van een worp te trekken. Daardoor zullen we ons echter niet laten ontmoedigen. Het zal mogelijk blijken om via een ander criterium dan het minimaliseren van het netto-verlies een optimale strategie te kiezen. Dat ligt anders als we geval 2,4 en 6 beschouwen. De verdediger heeft nu maar één leger tot zijn beschikking en mag dus maar met één dobbelsteen gooien. Enig rekenwerk leidt dan tot de volgende tabel:
 

Aantal dobbelstenen Aanvaller	Kans op als hoogste een						Kans op  verlies
	1	2	3	4	5	6	Verd	Aanv
1	1 6	1 6	1 6	1 6	1 6	1 6	15 36	21 36
2	1  36	3  36	5  36	7  36	9  36	11 36	125 216	91  216
3	1  216	7  216	19  216	37 216	61  216	91  216	855  1296	441  1296

In feite wordt dan het volgende spelletje gespeeld. De aanvaller valt net zo lang aan totdat de verdediger zijn leger verliest. Dit lijkt erg op het idee achter de negatief exponentiële verdeling. Voor alle gevallen geldt dat de kans dat de verdediger het langer dan drie beurten volhoudt onder de 5 procent ligt.

Geval 5 is een bijzonder geval. Bijzonder, omdat het in de praktijk nauwelijks voorkomt. Weinig aanvallers zijn zo gek om met één dobbelsteen te gooien als de verdediger het met twee kan doen. Mocht het toch gebeuren en de verdediger gooit met één dobbelsteen (nog onwaarschijnlijker) dan is de situatie gelijk aan die van geval 6. Gooit de verdediger met twee dobbelstenen dan is het verwachte verlies van de aanvaller ongeveer gelijk aan 3/4. Niet aan te bevelen dus.