Kaartjes Trekken

4. Het kaartjes trekken

Nu iets totaal anders. Het kaartjes trekken. Risk heeft zoals we eerder opmerkten 44 kaarten met daarop 14 cavaleristen, 14 artilleristen , 14 infanteristen en 2 jokers. De jokers kunnen al naar gelang een speler dat leuk vindt voor een cavalerist, infanterist of artillerist tellen. Als een speler de juiste kaarten heeft kan hij/zij een combinatie inleveren. De spelers trekken de kaarten en leggen ze gedekt op tafel. Als iemand vijf kaarten heeft kan, nee moet, hij/zij een combinatie inleveren. De enige informatie die een Risk-speler dus heeft over de kaarten van zijn tegenstander is dus het aantal dat op tafel ligt. Sommige spelers proberen hun kaarten te verbergen om hun tegenspelers zelfs deze informatie te ontnemen, maar in principe is dat verboden. De vragen die we ons nu kunnen stellen zijn:

Hoeveel legers levert het gemiddeld op als een speler i kaarten heeft?
Heeft het aantal spelers hier invloed op?

Twee tamelijk fundamentele vragen. Ze zijn echter niet zo makkelijk te beantwoorden als je bedenkt dat het trekken van de kaarten een trekking is die beïnvloed wordt door de acties van anderen. Het trekken van de kaartjes door medespelers en het inleveren van combinaties heeft een sterke invloed op de kansverdeling. Moeilijk dus. In zo'n geval is er maar één middel. Simuleren met behulp van een simulatieprogramma. Om het aantal berekeningen in te perken heb ik twee weinig plausibele aannames moeten maken. De aannamen zijn:

Iedere speler krijgt bij elke beurt een kaartje.
Iedere speler levert een combinatie in zodra het kan.

Aanname 1 is duidelijk niet verdedigbaar. In feite neem ik aan dat iedere speler bij elke beurt een land weet te veroveren. Niemand zou meer legers bij zetten en iedereen is sterk genoeg. Dat klopt dus niet. Toch zal blijken dat deze aanname weinig wezenlijke invloed heeft. Aanname 2 is veel belangrijker, maar behalve in het geval van bijv. 2 jokers en een ruiter, ook beter verdedigbaar. Als iemand drie dezelfde kaarten heeft zal hij/zij die toch inleveren. De kans op twee andere verschillende in de twee volgende beurten is immers klein. Ook de druk om legers op het bord te krijgen maakt deze aanname wat meer plausibel. Komen we nu aan de simulatieresultaten toe. Het programma heeft voor een telkens verschillend aantal spelers 30 spelletjes Risk van 1000 ronden gespeeld. Opmerkelijk is dat de resultaten onafhankelijk blijken van het aantal spelers. Het maakt dus kennelijk niet uit of een speler aanschuift of niet. Een probleem vormen de tamelijk hoge stan-daardafwijking. Dit kan, in geval van drie of vier kaarten, worden verklaard door het feit dat de kans op nul legers zeer hoog is, de kans op 4,6 of 8 legers laag en de kans op 10 legers weer wat hoger. Bij vijf kaarten ligt de standaardafwijking lager omdat je nu altijd moet en kunt inleveren. De kans op nul legers telt dus niet meer mee. Het verzamelen van kaarten lijkt niet zo'n sterke tactiek. In het gunstigste geval verdien je daar 1,5 leger per beurt mee terwijl je door niets te doen minimaal drie legers per beurt kunt krijgen. Een gouden regel moet dan ook zijn:

Val niet aan tenzij je een continent kan veroveren en houden, of door een aanval kan voorkomen dat een tegenstander een continent krijgt.

Door alleen aan te vallen als het moet, en een continent te veroveren als het kan verzeker je jezelf van een gestage stroom legers terwijl, hopelijk, je tegenstanders elkaar uitputten. Enig opportunisme gecombineerd met een verdeel en heers politiek is dan ook onontbeerlijk.

Maar, wanneer ben je nu potentieel in staat om een continent te veroveren? Uit de tabellen blijkt dat je bij een aanval er rekening mee moet houden voor elk leger van de tegenstander er zelf één te verliezen. Je moet dus minstens evenveel legers in het continent hebben als je tegenstanders. Verder moet je rekening houden met de legers die in de landen staan die toegang tot het continent (dit noemen we de periferie van een continent). Deze legers zouden immers je continent kunnen binnenvallen. Als de legers van jouw zijn is tel je die gewoon mee, als ze van een tegenstander zijn trek je ze af. Verder moet je nog legers hebben om het continent te kunnen bezetten. Hiervoor moet je twee legers rekenen per land dat aan een ander continent grenst en één voor een land dat er niet aan grenst. Verder zou je met een zelf vast te stellen veiligheidsopslag rekening kunnen houden. Deze zou bijvoorbeeld gelijk kunnen zijn aan het verwachte aantal legers dat de tegenstanders voor hun kaarten krijgen. Zodoende kunnen we een vuistregel opstellen waarmee we kunnen beslissen of we al dan niet aanvallen.

Simulatie-
Resultaten
Gemiddelde kans op een combinatie

3 Kaarten 4 Kaarten 5 Kaarten

2 Spelers 0,37953333 0,68646667 1

3 Spelers 0,37632258 0,68393333 1

4 Spelers 0,36319355 0,67740000 1

5 Spelers 0,38190323 0,68430000 1

6 Spelers 0,37141935 0,68443333 1

Simulatie-
Resultaten
Gemiddeld verkregen aantal legers

3 Kaarten 4 Kaarten 5 Kaarten

2 Spelers 3,25 5,55 7,43

3 Spelers 3,22 5,52 7,36

4 Spelers 3,06 5,42 7,33

5 Spelers 3,25 5,52 7,38

6 Spelers 3,17 5,52 7,38

Simulatie-
Resultaten
Standaardafwijking van het aantal legers

3 Kaarten 4 Kaarten 5 Kaarten

2 Spelers 4,33 4,20 2,27

3 Spelers 4,36 4,20 2,24

4 Spelers 4,29 4,19 2,31

5 Spelers 4,35 4,21 2,29

6 Spelers 4,33 4,20 2,28

We definiëren:

M_c = aantal legers van de speler in het continent

M_p = aantal legers van de speler in de periferie

V_c = aantal legers van de vijanden in het continent

V_p = aantal legers van de vijanden in de periferie

G = aantal grenslanden van het continent

B = aantal binnenlanden van het continent

S = veiligheidsopslag

We kunnen nu stellen dat een continent veroverd kan worden als:

M_c + M_p - V_c - V_p - 2*G - B - S > 0.

Voorbeeldje: Zuid-Amerika bestaat uit Brazilië (5 vijandelijke legers), Argentinië (6 vijandelijke legers), Peru (10 eigen legers), en Venezuela (20 eigen legers). Voorts is Brazilië nog verbonden met Noord-Afrika (6 eigen legers) en Venezuela met Midden-Amerika (4 vijandelijke legers). De veiligheidsopslag is 5. Hieruit volgt dat: M_c = 30, M_p = 6, V_c = 11, V_p = 4, G = 2, B = 2 en S = 5. 30 + 6 - 11 -4 - 2*2 - 2 - 5 = 10 > 0. Een aanval is dus mogelijk.

INDEX